Desember 2014 ~ The Queen of Sciences

Pengertian dan Macam Macam Perbandingan

22.49 Logika, Matematika, Perbandingan No comments

1. Arti Perbandingan
Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :
a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8
Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2
Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1
b. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita 60 cm

Perbandingan tinggi badan Dewa dan Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3
Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita = 120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1
Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita = 160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3
Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah besaran perlu diperhatikan :
a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lain
b. Samakan satuannya
c. Sederhanakan bentuk perbandingannya
Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan sebagai berikut :
a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana

atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli, dan b

0.
b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.
c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak mempunyai faktor persekutuan, kecuali 1.
2. Skala
Istilah skala sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas.

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :
1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya
Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.
Contoh berikut menjelaskan bagaimana kita menggunakan skala pada sebuah peta.
a. Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B sebenarnya 450 km.
Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut !
Jawab :
Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya
= 3 cm : 450 km
= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm)
= 3 : 45.000.000
= 1 : 15.000.000
b. Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 8 cm. Jika skala peta itu adalah 1 : 500.000, maka berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut ?
Jawab :
Skala 1 = 500.000 berarti 1 cm pada peta mewakili jarak 500.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili jarak 5 km jarak sesungguhnya.
c. Sebuah peta menggunakan skala 1 : 25.000.000 . Jika jarak dua tempat sebenarnya 300 km, berapakah jarak kedua tempat itu pada peta ?
Jawab :
Skala 1 : 25.000.000
Artinya 1 cm pada peta mewakili 25.000.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili 250 km jarak sesungguhnya.
Jadi jarak kedua tempat itu pada peta adalah 300 : 250 = 1,2 cm
Nah kalian sudah mempelajari perbandingan, skala dan penggunaannya, mudah bukan ?
3. Skala Sebagai Suatu Perbandingan
Sekarang coba bandingkan ketiga ukuran pas foto berikut :

Apakah pas foto 2 cm x 3 cm sebanding dengan pas foto 3 cm x 4 cm ?

, ternyata pernyatannya salah, jadi tidak sebanding
Sekarang bandingkan pas foto 2 cm x 3 cm dengan pas foto 4 cm x 6 cm !

, ternyata pernyatannya benar, jadi sebanding
Contoh perbandingan di atas akan kita pergunakan untuk menentukan ukuran suatu benda dengan model/benda tiruan/maketnya.
a. Sebuah model pesawat terbang panjang badannya 18 cm, lebar sayapnya 12 cm. Jika lebar sayap pesawat sesungguhnya 8 m, berapakah panjang badan pesawat sesungguhnya?
Jawab:

Jadi panjang badan pesawat sesungguhnya adalah 12 meter.
b. Sebuah gedung bertingkat tampak dari depan lebarnya 20 meter dan tingginya 60 meter. Jika tinggi gedung pada model adalah 12 cm, berapakah lebar gedung pada model ?
Jawab :

Jadi lebar gedung pada model adalah 4 cm.
4. Perbandingan Senilai
Perbandingan senilai berkaitan dengan perbandingan dua buah besaran, di mana jika besaran yang satu berubah naik/turun, maka besaran yang lain juga berunah naik/turun.
Contoh masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai adalah :

Jumlah barang yang dibeli dengan harga yang harus di bayar
Jumlah konsumsi bahan bakar dan jarak yang ditempuh
Jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat
dan lain-lain

Cara menyelesaikan masalah perbandingan senilai adalah dengan :
a. Menentukan nilai satuan
Dilakukan dengan menentukan nilai satuan dari besaran yang dibandingkan, baru kemudian dikalikan dengan besaran yang ditanyakan.
b. Menuliskan perbandingan senilai
Dilakukan dengan perbandingan langsung antara dua keadaan atau lebih
Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan senilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:
1. Sebuah kendaraan dapat menempuh jarak 24 km dengan mengkonsumsi bensin 2 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 60 km ?
Jawab :
Cara 1 :
2 liter bensin dapat menempuh jarak 24 km
1 liter bensin dapat menempuh jarak 12 km
Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.
Cara 2 :
Di buat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.
2. 1 lusin baju dibeli dengan harga Rp 480.000,00. Berapakah harga 15 buah baju yang sama ?
Jawab :
Cara 1 :
1 lusin baju harganya Rp 480.000,00
1 buah baju harganya Rp 480.000,00 : 12 = Rp 40.000,00
Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00
Cara 2 :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00
Nah materi perbandingan senilai sudah kalian pelajari, bahkan ada 2 cara menjawab soal, silahkan dipilih alternatif mana yang kalian anggap mudah, tentunya tidak sulit bukan ?
5. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan berbalik nilai berkaitan dengan membandingkan dua buah keadaan di mana jika besaran yang satu bertambah/berkurang maka besaran yang lain berkurang/bertambah.
Masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilai antara lain :

Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan (untuk pekerjaan yang sama)
Kecepatan dengan waktu tempuh (untuk jarak yang sama)
Banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan tersebut (untuk jumlah makanan ternak yang sama)
Dan sebagainya

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan berbalik nilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:
1. Suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 42 hari jika dikerjakan oleh 12 orang. Berapa lama pekerjaan yang sama akan selesai jika dikerjakan oleh 14 orang ?
Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik Salah satu ruas:

Jadi jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 14 pekerja akan selesai dalam waktu 36 hari.
2. Jarak kota A ke kota B sama dengan jarak kota B ke kota C. Jika AB dapat ditempuh dengan kecepatan 40 km/jam selama 10 jam, berapakah kecepatan yang harus ditambahkan jika jarak BC akan ditempuh selama 8 jam ?
Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik salah satu ruas:

Kecepatan yang harus ditambahkan adalah 50 – 40 = 10 km/jam.

Video Pembelajaran Peluang Kejadian Majemuk

22.32 Matematika, Peluang, Video Pembelajaran No comments

Berikut Video Pembelajaran Peluang kejadian majemuk

Asyiknya Belajar Bangun Ruang

22.18 Bangun Ruang, Ebook, Matematika No comments

Buku Asyiknya Belajar Bangun Ruang

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel

22.03 Lingkaran, Logika, Matematika No comments

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(SPLDV)

Perhatikan kembali tentang materi Siatem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Beberapa metode penyelesaiannya adalah sebagai berikut

1. Dengan metode grafik

sebagaimana contoh berikut

dan

2. Dengan metode eliminasi dan atau substitusi

Perhatikan contoh poin b) di atas. Jika dua buah garis dengan persamaan $3x+y=4$ dan $2x-y=1$ , maka untuk mencari titik potong kedua garis tersebut kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi atau gabungan keduanya.

Misalkan kita ingin menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi, maka

$\begin{matrix} 3x&+&y&=&4& \\ 2x& -&y&=&1&\\ \end{matrix}$

————————- +

$5x=5$

$x=1$

Selanjutnya nilai x=1 dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan ke 3x + y = 4, sehingga

$x=1\: \: \Rightarrow \: \: 3\left ( 1 \right )+y=4\: \: maka\: \: akan\: \: diperoleh \: \: y=1$

Coba cermati lagi ternyata titik potong kedua garis tersebut terletak di (1,1), tepat sebagaimana gambar grafik di atas.

B. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=0}$

$dengan \: \: a,b,c\: \epsilon \: \: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0$

Cara penyelesaian persamaan kuadrat di antaranya sebagai berikut

Persamaan kuadrat $\mathbf{ax^{2}+bx+c=0}\: \: dengan\: \: \mathbf{a,b,c\: \epsilon\: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0 }$ memiliki akar-akar $\mathbf{x_{1}\: \: dan\: \: x_{2}}$ di mana cara memperolehnya dapat menggunakan salah satu di antara 3 cara sebagaimana berikut; pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan formula abc.

1. Pemfaktoran

$\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0}$

untuk koefisien $x^{2}$ lebih dari 1, maka ubahlah menjadi bentuk

$\LARGE\boxed{\frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0}$

Contoh:

a. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-3x-10=0$

Jawab:

$x^{2}-3x-10=\left ( x+2 \right )\left ( x-5 \right )=0$ $\Leftrightarrow \: \: x=-2\: \: atau \: \: x=5$

b. Tentukan akar-akar dari persamaan $2x^{2}-3x-5=0$

Jawab:

$2x^{2}-3x-5=\frac{1}{2}\left ( 2x+2 \right )\left ( 2x-5 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-5 \right )=0$ $\Leftrightarrow \: \: x=-1\: \: atau\: \: x=\frac{5}{2}$

2. Melengkapkan kuadrat sempurna

$ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a$ ,

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}}$ ,

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$ ,

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ ,

$\LARGE\boxed{\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ .

Contoh:

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar dari $2x^{2}-3x-5=0$

Jawab:

$2x^{2}-3x-5=0$ .

$\frac{2x^{2}}{2}-\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}=\frac{0}{2}$ ,

$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$ ,

$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2}$ ,

$\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}$ ,

$\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )=\pm \sqrt{\frac{5}{2}+\frac{9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}=\pm \frac{7}{4}}$ ,

$\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3}{4}\pm \frac{7}{4}}$ ,

$\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=\frac{3-7}{4}=-1}$ .

c. formula abc

Perhatikan kembali langkah pada melengkapkan kuadrat sempurna. formula abc sebenarnya pengembangan dari bagian langkah akhirnya.

$ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a$ ,

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}}$ ,

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$ ,

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ ,

$\Large{x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} }$ ,

$\LARGE\boxed{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

Contoh:

Dengan menggunakan formula abc, tentukan akar-akar dari $2x^{2}-3x-5=0$

Jawab:

$2x^{2}-3x-5=0\left\{\begin{matrix} a &=&2 \\ b &=&-3 \\ c &=&-5 \end{matrix}\right.$

$\Large{x=\frac{-(-b)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(2)(-5)}}{2(2)}}$ ,

$\Large{x=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}}$ ,

$\Large{x=\frac{3\pm 7}{4}}$ ,

$\Leftrightarrow \: \: x=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=-1$ .

c. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel

Bentuk umum:

$\left\{\begin{matrix} y &= &ax &+&b \\ y &= &px^{2} &+&qx&+&r \end{matrix}\right.$

Langkah-langkah penyelesaian:

Substitusikan $y=ax+b$ ke bagian $y=px^{2}+qx+r$ , diperoleh $ax+b=px^{2}+qx+r$ . Sehingga kita mendapatkan $px^{2}+(q-a)x+(r-b)=0$
Nilai-nilai $x$ pada langkah pertama disubstitusikan ke $y=ax+b$ atau $y=px^{2}+qx+r$
Nilai $x$ yang ada tergantung dari nilai diskriminan D persamaan kuadrat , yaitu $\LARGE{D=\left ( q-a \right )^{2}-4p\left ( r-b \right )}$

Untuk rincian nilai D sebagai berikut:

$\begin{tabular}{|c|c|r|r|}\hline \emph{No}& \multicolumn{1}{|r|}{\emph{Jenis Nilai D}}&{\emph{penjelasan nilai D}}\\\hline 1&\boxed{D>0}&sistem persamaan mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 2&\boxed{D=0}&sistem persamaan mempunyai tepat satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 3&\boxed{D<0}&sistem persamaan tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline\end{tabular}$

Contoh:

Tentukan penyelesaian SPLKDV dari $y=x+1$ dan $y=x^{2}-3x+4$ dan buatlah pula gambar grafiknya?

Jawab:

Langkah pertama yaitu kita samakan-y nya, yaitu $\Large\fbox{y=y}$

$x^{2}-3x+4=x+1\: \: \Leftrightarrow \: \: x^{2}-4x+3=0$ ,

$\Leftrightarrow \: \: \left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )=0$ ,

$\Leftrightarrow \: \: x=1\: \: \: atau\: \: \: x=3$

dengan memasukkan nilai x ke persamaan $y=x+1$ , maka diperoleh nilai y sebagai berikut:

$\left\{\begin{matrix} x &= &1, &y=1+1&=&2&titiknya&(1,2) \\ x &= &3, &y=3+1&=&4&titiknya&(3,4) \end{matrix}\right.$

Untuk gambar grafiknya perhatikan ilustrasi berikut:

Sumber : https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2014/09/16/sistem-persamaan-linier-dan-kuadrat-dua-variabel/

The Queen of Sciences

Pages

Mengenai Saya

Categories

Blog Archive

Matematika

Bangun Ruang

Persamaan Kuadrat

Materi Peluang

Lingkaran

Perbandingan

Minggu, 21 Desember 2014

Pengertian dan Macam Macam Perbandingan

Video Pembelajaran Peluang Kejadian Majemuk

Asyiknya Belajar Bangun Ruang

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel

Blog Archive

Labels

Categories

Pages

Mengenai Saya

Categories

Blog Archive

Minggu, 21 Desember 2014

Social Profiles

Blog Archive

Labels

Categories